Teorema limitei centrale - Prezentare generală, istoric și exemplu

Teorema limitei centrale (CLT) este un concept statistic care afirmă că distribuția medie a eșantionului unei variabile aleatorii va presupune o distribuție aproape normală sau normală dacă dimensiunea eșantionului este suficient de mare. În termeni simpli, teorema afirmă că distribuția prin eșantionare a mediei medii medii este un concept esențial în matematică și statistică. În general, o medie se referă la media sau cea mai comună valoare într-o colecție de abordări o distribuție normală pe măsură ce mărimea eșantionului crește, indiferent de forma distribuției inițiale a populației.

Teorema limitei centrale (CLT) Diagrama care arată convergența la distribuția normală

Pe măsură ce utilizatorul crește numărul de eșantioane la 30, 40, 50 etc., graficul eșantionului se va deplasa către o distribuție normală. Dimensiunea eșantionului trebuie să fie de 30 sau mai mare pentru ca teorema limitei centrale să fie menținută.

Una dintre cele mai importante componente ale teoremei este că media eșantionului va fi media întregii populații. Dacă calculați media mai multor eșantioane ale populației, adăugați-le și găsiți media lor, rezultatul va fi estimarea mediei populației.

Același lucru se aplică atunci când se utilizează abaterea standard Abaterea standard Din punct de vedere statistic, abaterea standard a unui set de date este o măsură a magnitudinii abaterilor dintre valorile observațiilor conținute. Dacă calculați abaterea standard a tuturor eșantioanelor din populație, adăugați-le și găsiți media, rezultatul va fi abaterea standard a întregii populații.

Cum funcționează teorema limitei centrale?

Teorema limitei centrale stă la baza distribuției probabilității. Este ușor de înțeles cum se comportă estimările populației atunci când sunt supuse eșantionării repetate Eroare de tip II În testarea statistică a ipotezelor, o eroare de tip II este o situație în care un test de ipoteză nu reușește să respingă ipoteza nulă care este falsă. În altele. Când este trasată pe un grafic, teorema arată forma distribuției formate prin mijloace de eșantioane de populație repetate.

Pe măsură ce dimensiunile eșantionului cresc, distribuția mijloacelor din eșantioanele repetate tind să se normalizeze și să semene cu o distribuție normală. Rezultatul rămâne același indiferent de forma originală a distribuției. Poate fi ilustrat în figura de mai jos:

Teorema limitei centrale (CLT) - Cum apare

Din figura de mai sus, putem deduce că, în ciuda faptului că forma inițială a distribuției a fost uniformă, ea tinde spre o distribuție normală pe măsură ce crește valoarea n (dimensiunea eșantionului).

În afară de a arăta forma pe care o va lua eșantionul, teorema limită centrală oferă, de asemenea, o imagine de ansamblu asupra mediei și varianței distribuției. Media eșantionului distribuției este media populației reale din care au fost prelevate eșantioanele.

Varianța distribuției eșantionului, pe de altă parte, este varianța populației împărțită la n . Prin urmare, cu cât este mai mare dimensiunea eșantionului distribuției, cu atât este mai mică varianța mediei eșantionului.

Exemplu de teoremă a limitei centrale

Un investitor este interesat să estimeze randamentul indicelui bursier ABC care este format din 100.000 de acțiuni. Datorită dimensiunii mari a indicelui Dow Jones Industrial Average (DJIA) Dow Jones Industrial Average (DJIA), denumit în mod obișnuit și „Dow Jones” sau pur și simplu „Dow”, este unul dintre cele mai populare și pe scară largă. la indici bursieri recunoscuți, investitorul nu este în măsură să analizeze fiecare acțiune în mod independent și, în schimb, alege să utilizeze eșantionarea aleatorie pentru a obține o estimare a randamentului general al indicelui.

Investitorul alege probe aleatorii ale stocurilor, fiecare eșantion cuprinzând cel puțin 30 de acțiuni. Eșantioanele trebuie să fie aleatorii și orice eșantioane selectate anterior trebuie înlocuite în eșantioane ulterioare pentru a evita părtinirea.

Dacă primul eșantion produce un randament mediu de 7,5%, următorul eșantion poate produce un randament mediu de 7,8%. Cu natura eșantionării randomizate, fiecare eșantion va produce un rezultat diferit. Pe măsură ce creșteți dimensiunea eșantionului cu fiecare eșantion pe care îl alegeți, eșantionul va începe să-și formeze propriile distribuții.

Distribuția eșantionului înseamnă se va deplasa spre normal pe măsură ce valoarea lui n crește. Randamentul mediu al stocurilor din indicele eșantion estimează randamentul întregului indice de 100.000 de stocuri, iar randamentul mediu este distribuit în mod normal.

Istoria teoremei limitei centrale

Versiunea inițială a teoremei limitei centrale a fost inventată de Abraham De Moivre, un matematician de origine franceză. Într-un articol publicat în 1733, De Moivre a folosit distribuția normală pentru a găsi numărul de capete rezultate din aruncările multiple ale unei monede. Conceptul era nepopular la acea vreme și a fost uitat repede.

Cu toate acestea, în 1812, conceptul a fost reintrodus de Pierre-Simon Laplace, un alt faimos matematician francez. Laplace a reintrodus conceptul de distribuție normală în lucrarea sa intitulată „Théorie Analytique des Probabilités”, unde a încercat să aproximeze distribuția binomială cu distribuția normală.

Matematicianul a constatat că media variabilelor aleatoare independente, atunci când crește ca număr, tind să urmeze o distribuție normală. În acel moment, descoperirile lui Laplace cu privire la teorema limitei centrale au atras atenția altor teoreticieni și academicieni.

Mai târziu, în 1901, teorema limitei centrale a fost extinsă de Aleksandr Lyapunov, un matematician rus. Lyapunov a făcut un pas înainte pentru a defini conceptul în termeni generali și a demonstra modul în care a funcționat matematic conceptul. Funcțiile caracteristice pe care le-a folosit pentru a furniza teorema au fost adoptate în teoria modernă a probabilității.

Lecturi conexe

Finance este furnizorul oficial al analistului global de modelare și evaluare financiară (FMVA) ™ Certificare FMVA® Alăturați-vă peste 350.600 de studenți care lucrează pentru companii precum programul de certificare Amazon, JP Morgan și Ferrari, conceput pentru a ajuta pe oricine să devină un analist financiar de talie mondială . Pentru a continua să învățați și să vă avansați cariera, resursele financiare suplimentare de mai jos vor fi utile:

  • Teorema lui Bayes Teorema lui Bayes În statistici și teoria probabilităților, teorema Bayes (cunoscută și sub numele de regula Bayes) este o formulă matematică utilizată pentru a determina condiționalitatea
  • Tendința centrală Tendința centrală Tendința centrală este un rezumat descriptiv al unui set de date printr-o singură valoare care reflectă centrul distribuției datelor. Alături de variabilitate
  • Legea numerelor mari Legea numerelor mari În statistici și teoria probabilității, legea numerelor mari este o teoremă care descrie rezultatul repetării aceluiași experiment un număr mare de
  • Regula probabilității totale Regula probabilității totale Regula probabilității totale (cunoscută și sub numele de legea probabilității totale) este o regulă fundamentală în statisticile referitoare la condițional și marginal

Postări recente